Matematici inside..

[pina colada]

[600]

Qualcuno ha qualche suggerimento su questo ennesimo problema sui processi stocastici??

Due centralini, fra loro indipendenti, ricevono nell'unità di tempo un numero di telefonate X e Y aventi densità di poisson di parametri lambda x = 2 e lambda y = 4.
1. Qual'è la probabilità che nell'unità di tempo i 2 centralini ricevano assieme non più di 3 telefonate?
E questa mi è riuscita considerando la somma di 2 poisson = poisson di parametro lambda = lamba x + lambda y..
Il problema è qui:

2. Sapendo che nell'unità di tempo i due centralini hanno ricevuto in totale 8 telefonate, qual'è la probabilità che il primo ne abbia ricevute k?
Per quali valori di k questa quantità è massima?



Mi sto spremendo le meningi..invano

Pina se serve ancora ci penso un attimo e ti do la soluzione.

[pina colada]

Pina se serve ancora ci penso un attimo e ti do la soluzione.

Sì, ti ringrazio

[richard]

E' convergente. il log di 1+x per x-> infinito è asintoticamente equivalente a x quindi arrivi ad avere 1/n^2 che è una serie armonica generalizzata con l'esponente > 1 quindi convergente

Il neretto non è corretto. Sarebbe vero per x->0, non per x -> infinito.

Ad ogni modo, per n -> infinito, 1/n^2 -> 0 e quindi il seguito è corretto.

[Sam Fisher]

E' convergente. il log di 1+x per x-> infinito è asintoticamente equivalente a x quindi arrivi ad avere 1/n^2 che è una serie armonica generalizzata con l'esponente > 1 quindi convergente

aspetta , ma log (1+(1/n^2)) per n che tend ad inf il limite vale zero è ho rispettato la condizione necessaria per la convergenza.
Ora mi chiedevo se utilizzando il criterio del rapporto posso provare che la serie converge in virtù del fatto che il limite vale <1.

[XVII]

Il neretto non è corretto. Sarebbe vero per x->0, non per x -> infinito.

Ad ogni modo, per n -> infinito, 1/n^2 -> 0 e quindi il seguito è corretto.

Mannaggia hai ragione richard, scusami Sam

[Sam Fisher]

Mannaggia hai ragione richard, scusami Sam

non ti preoccuapre non è quello il passaggio che mi premeva perchè sapevo che il limite era zero.
Ora voglio capire cm sarebbe lo svolgimento cn il criterio del rapporto.

[600]

Mi pare che sia così..
Z=X+Y distribuita come una poisson di parametro 6
P(Z=3)= e^(-6) * [(6^3)/3!]

..o mi sbaglio?

qua sbagli ma è una stupidata, il testo dice massimo 3 telefonate quindi p(Z<=3) cioè e^(-6) * Σ[(6^i)/i!] per i da 0 a 3 sperando di aver scritto giusto, comunque fa il 15%

[pina colada]

non ti preoccuapre non è quello il passaggio che mi premeva perchè sapevo che il limite era zero.
Ora voglio capire cm sarebbe lo svolgimento cn il criterio del rapporto.

Con il criterio del rapporto mi sa che ti complichi la vita.. sto provando a vedere col criterio del confronto..

[XVII]

aspetta , ma log (1+(1/n^2)) per n che tend ad inf il limite vale zero è ho rispettato la condizione necessaria per la convergenza.
Ora mi chiedevo se utilizzando il criterio del rapporto posso provare che la serie converge in virtù del fatto che il limite vale <1.

Non saprei, il criterio del rapporto ti dice che è convergente se il risultato è tra [o, 1[ (ora non ricordo bene le parentesi). Piuttosto proverei a dimostrarne la convergenza utilizzando il criterio del confronto asintotico

[pina colada]

qua sbagli ma è una stupidata, il testo dice massimo 3 telefonate quindi p(Z<=3) cioè e^(-6) * Σ[(6^i)/i!] per i da 0 a 3 sperando di aver scritto giusto, comunque fa il 15%

E' vero.. e me ne rendo conto perchè negli ultimi giorni ho studiato meglio la poissoniana.. Grazie infinite

Sul secondo punto avresti dei suggerimenti?

[Sam Fisher]

Con il criterio del rapporto mi sa che ti complichi la vita.. sto provando a vedere col criterio del confronto..

Non saprei, il criterio del rapporto ti dice che è convergente se il risultato è tra [o, 1[ (ora non ricordo bene le parentesi). Piuttosto proverei a dimostrarne la convergenza utilizzando il criterio del confronto asintotico

dovrei trovare un maggiorante della serie che converge..... come ???

[600]

due centralini, fra loro indipendenti, ricevono nell'unità di tempo un numero di telefonate x e y aventi densità di poisson di parametri lambda x = 2 e lambda y = 4.
1. Qual'è la probabilità che nell'unità di tempo i 2 centralini ricevano assieme non più di 3 telefonate?
E questa mi è riuscita considerando la somma di 2 poisson = poisson di parametro lambda = lamba x + lambda y..
Il problema è qui:

2. Sapendo che nell'unità di tempo i due centralini hanno ricevuto in totale 8 telefonate, qual'è la probabilità che il primo ne abbia ricevute k?
per quali valori di k questa quantità è massima?

la prob di k sarebbe
Pk = (8 k) (1/3)^k (2/3)^8-k

dove (8 k) leggilo in verticale cioè come Combinazione 8 elem classe k
noi cerchiamo il valore con il Pk massimo

(Pk+1)/Pk>=1
e quindi
(Pk+1)/Pk=1/2*(8-k)/(k+1)>=1

studiamo la disuguaglianza

-------------- >1 per k=0,1
(Pk+1)/Pk ---- =1 per k=2
-------------- <1 per k>2

quindi k=2 o 3

spero si capisca

[pina colada]

la prob di k sarebbe
Pk = (8 k) (1/3)^k (2/3)^8-k

dove (8 k) leggilo in verticale cioè come Combinazione 8 elem classe k
noi cerchiamo il valore con il Pk massimo

(Pk+1)/Pk>=1
e quindi
(Pk+1)/Pk=1/2*(8-k)/(k+1)>=1

studiamo la disuguaglianza

-------------- >1 per k=0,1
(Pk+1)/Pk ---- =1 per k=2
-------------- <1 per k>2

quindi k=2 o 3

spero si capisca

Ah tu la risolvi con la binomiale Ecco perchè non riuscivo a andare avanti.. Grazie mille comunque

Però non capisco due cose:

1. perchè trovo il k che massimizza la probabilità ponendo
(Pk+1)/Pk>=1 Cioè non lo capisco bene a livello logico..

2. da dove mi salta fuori l'espressione: (Pk+1)/Pk=1/2*(8-k)/(k+1)>=1

ps: cosa studi??

[600]

Ah tu la risolvi con la binomiale Ecco perchè non riuscivo a andare avanti.. Grazie mille comunque

Però non capisco due cose:

1. perchè trovo il k che massimizza la probabilità ponendo
(Pk+1)/Pk>=1 Cioè non lo capisco bene a livello logico..

2. da dove mi salta fuori l'espressione: (Pk+1)/Pk=1/2*(8-k)/(k+1)>=1

ps: cosa studi??

1- Perchè essendo una funzione discreta il massimo lo trovi cosi.
2- Sostituendo Pk+1 e Pk generici...

Se son poco chiaro dimmi che riprovo (per Pk+1 a livello "logico" intendo P(k+1) ovviamente)

p.s.: sono al secondo anno di informatica.