Matematici inside..

[richard]

non lo so, c'è qualcosa che non riesco a capire. io imposto 'integrale cosi:
int{-3/2 ; -1}dx int{-2x-3 ; 0} x+2y dy
=int{-3/2 ; -1}dx [0-(2x^2 + 9x + 9)]
=int{-3/2 ; -1} -2x^2 - 9x - 9 dx
=[(2/3 -9/2 +9) - (54/24 -81/8 +27/2)]= -11/24

e l'altro triangolo

int{-1 ; 0}dx int{x ; 0} x+2y dy
=int{-1 ; 0}dx [0-(2x^2)]
=int{-1 ; 0} -2x^2 dx
=[0-(2/3)]=-2/3

l'integrale in definitiva mi viene -9/8

perchè?

Non ho controllato i conti nel dettaglio, ma mi sembra impostato correttamente. Cosa ti turba? il segno?


Allora ti rigiro la domanda:

int{0 ; 4} dx (x^2 - 4x) = - 32/3

perché?

[QuattroAnte]

l'integrale viene x^3/3 - 2x^2 che valutato tra 0 e 4
da:
[(64/3 - 32) - 0]= -32/3

corretto?

[richard]

l'integrale viene x^3/3 - 2x^2 che valutato tra 0 e 4
da:
[(64/3 - 32) - 0]= -32/3

corretto?

Esatto. Il valore negativo (- 32/3) ti sorprende? te lo aspettavi? Come è possibile se si tratta di un' area?

Rispondendo correttamente a queste domande, capirai il perché del segno negativo del tuo integrale doppio.


Se non è questo il problema, non capisco il senso del tuo "perché?"

[QuattroAnte]

non lo so, è meglio che faccio una pausa perche sto andando insieme.
l'integrale che ho ora è questo:

int{-3; -1 }int{-2x-3; -x} x+2y dxdy
deve uscire 13 ma mi sono usciti ameno 40 risultati diversi, sono socraggiato, ogni volta che lo faccio cambia il risultato, mi pare di avere di pronte il paradosso p=np piùttosto che un banale integrale doppio

[richard]

un integrale doppio, semlice ma che forse imposto male, non capisco perche mi viene negativo.

INTDOPPIO di (x+2y) dxdy il cui dominio è delimitato dalle rette:
Y=0,
Y=x
Y=-2x-3

Ok. Questo è il problema.

non lo so, c'è qualcosa che non riesco a capire. io imposto 'integrale cosi:
int{-3/2 ; -1}dx int{-2x-3 ; 0} x+2y dy
=int{-3/2 ; -1}dx [0-(2x^2 + 9x + 9)]
=int{-3/2 ; -1} -2x^2 - 9x - 9 dx
=[(2/3 -9/2 +9) - (54/24 -81/8 +27/2)]= -11/24

e l'altro triangolo

int{-1 ; 0}dx int{x ; 0} x+2y dy
=int{-1 ; 0}dx [0-(2x^2)]
=int{-1 ; 0} -2x^2 dx
=[0-(2/3)]=-2/3

l'integrale in definitiva mi viene -9/8

perchè?

Ho controllato i conti: questo risultato è giusto.

Può essere ottenuto anche come:

int{-1 ; 0} dy int { -(3+y)/2, y} (x+2y) dx

(cioè integrando prima rispetto a x e poi a y; in questo modo è anche più semplice poiché il dominio è in forma normale:
-1<=y<=0 e -(3+y)/2<=x<=y.

Nota che y=-2x - 3 implica x = -(3+y)/2.)

Quindi

int { -(3+y)/2, y} (x+2y) dx = y^2/2 - 1/2 (3+y)^2 /4 + 2y^2 + y(3+y) = 27/8 y^2 + 9/4 y -9/8.

Infine

int {-1 ; 0} (27/8 y^2 + 9/4 y -9/8) dy = 0 - (-27/24 + 9/8 + 9/8) = -9/8

esattamente come prima.

D'altra parte il risultato deve essere negativo poiché la funzione integranda z = x + 2y è negativa sul dominio di integrazione.

non lo so, è meglio che faccio una pausa perche sto andando insieme.
l'integrale che ho ora è questo:

int{-3; -1 }int{-2x-3; -x} x+2y dxdy
deve uscire 13 ma mi sono usciti ameno 40 risultati diversi, sono socraggiato, ogni volta che lo faccio cambia il risultato, mi pare di avere di pronte il paradosso p=np piùttosto che un banale integrale doppio

Non ho capito se questo è l'integrale di prima o no. Se si:

- hai scritto male gli estremi;
- il risultato non può venire, come già detto, positivo;

Se no:

- dovresti scrivere meglio il dominio.

Ad ogni modo fai bene a staccare e riprendere con mente serena. Non ti scoraggiare: con un po' di pratica verranno più automatici.
Prova sempre a invertire l'ordine di integrazione tra x e y e verifica che venga lo stesso risultato: è un ottimo test per capire se si è fatto bene.

[QuattroAnte]

Non ho capito se questo è l'integrale di prima o no. Se si:

- hai scritto male gli estremi;
- il risultato non può venire, come già detto, positivo;

Se no:

- dovresti scrivere meglio il dominio.

Ad ogni modo fai bene a staccare e riprendere con mente serena. Non ti scoraggiare: con un po' di pratica verranno più automatici.
Prova sempre a invertire l'ordine di integrazione tra x e y e verifica che venga lo stesso risultato: è un ottimo test per capire se si è fatto bene.

si basa sulla stessa funzione ma il dominio è delimitato da y=-x, y=x e y=-2x-3

quello è uno dei due domini ordinari e dovrebbe venire 13.

Il consiglio finale vale oro, non ci avevo mai pensato

[pina colada]

RICHARD AIUTO:

Devo dimostrare che :

se f è una funzione derivabile e f'(x)>1/2 per ogni x>0 allora lim per x-->+inf di f(x) = + inf.

Ce l'ho sulla punta della lingua ma quando la vado a descrivere mi perdo in un bicchiere d'acqua...
Grazie

[richard]

RICHARD AIUTO:

Devo dimostrare che :

se f è una funzione derivabile e f'(x)>1/2 per ogni x>0 allora lim per x-->+inf di f(x) = + inf.

Ce l'ho sulla punta della lingua ma quando la vado a descrivere mi perdo in un bicchiere d'acqua...
Grazie

Se f è derivabile in ]0, +inf[ è anche continua in ]0, +inf[ e quindi integrabile secondo Riemann. Allora, poiché f'(x)>1/2 in questo intervallo, deve anche essere: int {da 0 a x} f'(t) dt > int {da 0 a x} 1/2 dt, cioè (dal teorema fondamentale del calcolo integrale):

f(x) - lim{x->0+} f(x) >1/2 x.

Da qui è immediato quello che vuoi provare.

[pina colada]

Se f è derivabile in ]0, +inf[ è anche continua in ]0, +inf[ e quindi integrabile secondo Riemann. Allora, poiché f'(x)>1/2 in questo intervallo, deve anche essere: int {da 0 a x} f'(t) dt > int {da 0 a x} 1/2 dt, cioè (dal teorema fondamentale del calcolo integrale):

f(x) - lim{x->0+} f(x) >1/2 x.

Da qui è immediato quello che vuoi provare.

Grazie infinite...
Non sarei mai riuscita a risolverla allora perchè non avrei mai pensato di usar gli integrali. Stavo cercando di risolverla pensando a monotonia e derivate....
Ce n'è un'altra su quello stile ma cerco prima di risolverla da sola, se nn ce la faccio tornerò a breve... Mi dispiace per te

[richard]

Grazie infinite...
Non sarei mai riuscita a risolverla allora perchè non avrei mai pensato di usar gli integrali. Stavo cercando di risolverla pensando a monotonia e derivate....

Se hai una condizione sulla derivata e ti viene chiesto qualcosa sulla funzione il primo pensiero è, di solito, vedere se integrando la derivata si ottiene qualcosa.
In questo caso sei fortunata perché l'operazione di integrazione rispetta la disuguaglianza. Non vale la stessa cosa per l'operazione di derivazione: se avessi avuto una f derivabile tale che f(x) > 1/2 sarebbe stato errato concludere f'(x) > 0.

Ce n'è un'altra su quello stile ma cerco prima di risolverla da sola, se nn ce la faccio tornerò a breve... Mi dispiace per te

Tra un po' esco ...

[pina colada]

Se hai una condizione sulla derivata e ti viene chiesto qualcosa sulla funzione il primo pensiero è, di solito, vedere se integrando la derivata si ottiene qualcosa.
In questo caso sei fortunata perché l'operazione di integrazione rispetta la disuguaglianza. Non vale la stessa cosa per l'operazione di derivazione: se avessi avuto una f derivabile tale che f(x) > 1/2 sarebbe stato errato concludere f'(x) > 0.



Tra un po' esco ...

Dai allora te la chiedo ora, credo per te sia rapidissima

Se f è derivabile e lim per x-->+inf f(x) = 0 allora lim per x-->+ inf f(x) = 0
(potrebbe anche nn esser vera, ma secondo me lo è)


Cmq grazie mille per la spiegazione sopra, credo che mi sarà utile in caso di domande simili

[richard]

Dai allora te la chiedo ora, credo per te sia rapidissima

Se f è derivabile e lim per x-->+inf f(x) = 0 allora lim per x-->+ inf f(x) = 0
(potrebbe anche nn esser vera, ma secondo me lo è)

Così come l'hai scritta hai la tesi per ipotesi.

Se invece intendevi:

"Se f è derivabile e lim per x-->+inf f'(x) = 0 allora lim per x-->+ inf f(x) = 0"

è falsa: f(x) = ln(x) è un controesempio.

Se intendevi:

"Se f è derivabile e lim per x-->+inf f(x) = 0 allora lim per x-->+ inf f'(x) = 0"

è ancora falsa: f(x) = sin(x^2) / x è un controsempio (in generale lo è, ad esempio, ogni funzione infinitesima che "oscilli rapidamente intorno al valore 0").

Cmq grazie mille per la spiegazione sopra, credo che mi sarà utile in caso di domande simili

[pina colada]

Eccoci come al solito mi sono persa l'apostrofo
Cmq era questa:

"Se f è derivabile e lim per x-->+inf f(x) = 0 allora lim per x-->+ inf f'(x) = 0"

è ancora falsa: f(x) = sin(x^2) / x è un controsempio (in generale lo è, ad esempio, ogni funzione infinitesima che "oscilli rapidamente intorno al valore 0").

Grazie Non so proprio come ringraziarti, sei gentilissimo (oltre a esser un genio)
E' vero, nn ci avevo pensato, mi veniva l'esempio classico dell'asintoto

Dai ti lascio uscire, buonaserata

[richard]

Eccoci come al solito mi sono persa l'apostrofo
Cmq era questa:

Grazie Non so proprio come ringraziarti, sei gentilissimo (oltre a esser un genio)
E' vero, nn ci avevo pensato, mi veniva l'esempio classico dell'asintoto

Dai ti lascio uscire, buonaserata

Grazie, buona serata anche a te.

[laplace]

RICHARD AIUTO:

Devo dimostrare che :

se f è una funzione derivabile e f'(x)>1/2 per ogni x>0 allora lim per x-->+inf di f(x) = + inf.

Ce l'ho sulla punta della lingua ma quando la vado a descrivere mi perdo in un bicchiere d'acqua...
Grazie

se la derivata di una funzione è più grande di 1/2 per tutte le ascisse positive è evidente che l'area sottesa dalla curva che rappresenta la funzione derivata risulti maggiore dell'area sottesa da 1/2, comunque si fissi un punto sull'ascissa.....questo equivale di fatto a dire che la funzione originaria è maggiore di x/2 per tutte le x positive.....per questo non può altro che essere tendente a più infinito quando x tende a più infinito....anche perchè ovviamente in quel punto il limite esiste di sicuro...