Matematici inside..

[richard]

mmm ma con il prodotto degli zeri cio che ho scritto in precedenza non tornerebbe..perche il numero dispari di zeri non farebbe tornare il tutto discorde..io pensavo nell origine di dover fare i calcoli considerano la derivata visto che studio il transitorio

Il numero dispari di zeri positivi fa tornare discorde perché ognuno ha un segno meno nel prodotto: gli zeri negativi non contribuiscono al segno in virtù di quel meno; gli zeri positivi contribuiscono negativamente se e solo se in numero dispari (sempre in virtù del segno meno).


Nota che ti conviene scrivere la FdT come:

A * [(s-z1)(s-z2)(s-z3) ... (s-zn)]/[(s-p2)(s-p2)...(s-pm)]

Quando trovi la risposta al gradino e fai il limite per s->0 nel teorema del valore finale ottieni il prodotto degli zeri con segno - al numeratore (il denominatore invece è positivo poiché i poli sono negativi per la stabilità).

[richard]

p.s. tra l altro lavorando con le derivate prime mi torna l'asserto solo nel caso in cui il grado del numeratore è inferiore solo di una unita(m=n-1) rispettando la condizione di fisica realizzabilità e causalità;ma ad esempio se n è superiore per piu di un unita mi va a 0 nel caso siano uguali ad infinito(ovviamente per le proprietà di limite )...mah non trovo al momento nessun collegamento al numero dispari di m per giustificare la condizione necessaria e sufficiente

Infatti nel caso in cui il limite destro nell'origine della risposta sia 0, non sono sicuro che valga la condizione sul numero di zeri positivi. Sicuramente è meno evidente di prima e c'è da fare un po' di conti con la FdT.

..stavo inoltre pensando,se c è risposta inversa la funzione deve per forza annullarsi in un punto dell'asse temporale visto che deve passare dal positivo a negativo o viceversa...non so se cio puo tornare utile

Secondo me te ne fai ben poco di questa considerazione.
La questione va studiata localmente nell'intorno destro di 0+.

[MikaelPROBass]

Il numero dispari di zeri positivi fa tornare discorde perché ognuno ha un segno meno nel prodotto: gli zeri negativi non contribuiscono al segno in virtù di quel meno; gli zeri positivi contribuiscono negativamente se e solo se in numero dispari (sempre in virtù del segno meno).


Nota che ti conviene scrivere la FdT come:

A * [(s-z1)(s-z2)(s-z3) ... (s-zn)]/[(s-p2)(s-p2)...(s-pm)]

Quando trovi la risposta al gradino e fai il limite per s->0 nel teorema del valore finale ottieni il prodotto degli zeri con segno - al numeratore (il denominatore invece è positivo poiché i poli sono negativi per la stabilità).

quindi il limite per s->0 a me torna A*produttoria(-zi)/produttoria(-pi) e per n dispari la produttora è negativa e mi "inverte" il segno del gradino..ora devo dimostrare con il teorema del valore iniziale che la risposta che mi fornisce è di segno discorde a quella che ho allo stazionario e in questo limite mi trovo in difficoltà un po

[MikaelPROBass]

mah..per s->infinito a me torna che o tende a K'A(se m=n) oppure a 0(se m<n) _K' è il guadagno della Fdt espressa nella forma poli/zeri..prima l avevo dimenticato che moltiplicava anche la A*[produttoria(-zi)/produttoria(-pi)]

[richard]

quindi il limite per s->0 a me torna A*produttoria(-zi)/produttoria(-pi) e per n dispari la produttora è negativa e mi "inverte" il segno del gradino..ora devo dimostrare con il teorema del valore iniziale che la risposta che mi fornisce è di segno discorde a quella che ho allo stazionario e in questo limite mi trovo in difficoltà un po

Ok, quel limite rappresenta il valore asintotico (per t->+inf) della risposta. Il suo valore iniziale (cioè per t->0+) invece, se definito e diverso da zero, vale A (basta fare il limite per s->+inf di s * FdT; nota che perché venga diverso da zero è richiesto che il numero di zeri, contato con la molteplicità, sia uguale al numero di poli, sempre contando la molteplicità).

Ora essi sono discordi se e solo se il loro rapporto è negativo: quindi la A si semplifica e rimane a contribuire sul segno solo il prodotto degli zeri a numeratore.


Questo è il caso semplice.

[MikaelPROBass]

per m<n invece devo lavorare con le derivate immagino visto che la risposta è 0 ...

[richard]

per m<n invece devo lavorare con le derivate immagino visto che la risposta è 0 ...

Esattamente.
Anche qui due casi:

- la drivata prima è diversa da zero: e qui vogliamo la condizione che sia negativa affinche la risposta decrescendo diventi negativa in un intorno destro di zero;

- la derivata prima è nulla: si passa alle derivate successive.


E così via.

Però, se la risposta è 0, non sono affatto convinto che basti guardare il numero di zeri negativi. Temo che la condizione diventi più complessa e coinvolga anche il valore degli zeri, ma può darsi che mi sbagli.

[MikaelPROBass]

Esattamente.
Anche qui due casi:

- la drivata prima è diversa da zero: e qui vogliamo la condizione che sia negativa affinche la risposta decrescendo diventi negativa in un intorno destro di zero;

- la derivata prima è nulla: si passa alle derivate successive.


E così via.

Però, se la risposta è 0, non sono affatto convinto che basti guardare il numero di zeri negativi. Temo che la condizione diventi più complessa e coinvolga anche il valore degli zeri, ma può darsi che mi sbagli.

ecco allora stavo procedendo bene..sto lavorando ora sulle derivate successive in modo da trovare qualcosa di induttivo ma boh..ahime l esercizio recita:" Per un processo con dinamica rappresentata da una FdT nella forma di costanti di tempo:
gtc=K[(a1s+1)...(ams+1)/(b1s+1)(bns+1)]
dimostrare che la condizione necessaria e sufficiente perché si verifichi risposta inversa è che si abbia un numero dispari di zeri positivi

[MikaelPROBass]

derivando derivano per ottenere un limite per s->infinito diverso da 0 si arriva a dire che m=(n+1)-d,dove m=grado max numeratore;n=grado max denominatore;d=ordine derivata...ora rispettando questa equazione il limite tenderà ad A*K'. K' però risulterà negativo solo se m è #dispari tornerebbe no?

[richard]

derivando derivano per ottenere un limite per s->infinito diverso da 0 si arriva a dire che m=(n+1)-d,dove m=grado max numeratore;n=grado max denominatore;d=ordine derivata...ora rispettando questa equazione il limite tenderà ad A*K'. K' però risulterà negativo solo se m è #dispari tornerebbe no?

Sì, in effetti sembra funzionare.
Ciò che interessa è che in un intorno destro di 0 la risposta sia del tipo A*t^d. Ciò significa che si può ripetere quanto detto prima sulla derivata di ordine n-m della risposta, ovvero applicare il teorema del valore iniziale su s^(n-m) FdT. Poi, di nuovo, si considera il rapporto tra il valore asintotico e questo valore iniziale.

[MikaelPROBass]

Sì, in effetti sembra funzionare.
Ciò che interessa è che in un intorno destro di 0 la risposta sia del tipo A*t^d. Ciò significa che si può ripetere quanto detto prima sulla derivata di ordine n-m della risposta, ovvero applicare il teorema del valore iniziale su s^(n-m) FdT. Poi, di nuovo, si considera il rapporto tra il valore asintotico e questo valore iniziale.

nn ho inteso questo punto...
io allora vedo un po domani di scrivere il tutto in modo cristiano poi riposto la dimostrazione in modo pulito per vedere se è inoppugnabile

grazie tante prof.richard!sempre molto disponibile e paziente

[richard]

nn ho inteso questo punto...
io allora vedo un po domani di scrivere il tutto in modo cristiano poi riposto la dimostrazione in modo pulito per vedere se è inoppugnabile

grazie tante prof.richard!sempre molto disponibile e paziente

Intendevo semplicemente che ci interessa il segno della prima derivata non nulla poiché corrisponde al segno della rappresentazione locale (in 0) della risposta, che ha forma A*t^d dove d=n-m.
Non preoccuparti, vediamo domani il tutto riscritto in modo cristiano.
Ma la dimostrazione, con l'ultima tua osservazione, funziona.

[MikaelPROBass]

Per un processo con dinamica rappresentata da una FdT nella forma di costanti tempo :
gtc=K[(a1s+1)...(ams+1)/(b1s+1)...(bns+1)]
dimostrare che la condizione necessaria e sufficiente perche si verifichi risposta inversa è che si abbia un numero dispari di zeri positivi.
-----------------------------------------------------
Per definizione, la risposta inversa è tipica dei sistemi per i quali si hanno più effetti paralleli di segno opposto e gli effetti che prevalgono allo stazionario hanno un peso minore durante il transitorio.
Le m radici del numeratore sono gli zeri del sistema; da essi dipendono le proprietà nel transitorio, cioè la risposta per tempi brevi. A tal proposito si riscrive la FdT in forma poli/zeri :
gpz=K'[(s-z1)...(s-zm)]/[(s-p1)...(s-pn)]
E' evidente che sign(K') è diverso da sign(K),dipendendo dal numero di poli e zeri positivi del processo.
Si studia per punti la risposta nel caso di ingresso a gradino(X(s)=A/s) sfruttando il Teorema del Valore Finale e del Valore Iniziale.
Fissiamo arbitrariamente K,A>0 :

Limt->inf y(t)=Lims->0 sY(s)=(studiando la gtc)=KA>0

_come ci si aspetta,allo stazionario la risposta tende asintoticamente al suo guadagno complessivo moltiplicata l'ampiezza dell'ingresso a gradino_

Limt->0 y(t)=Lims->inf sY(s)

_in questo caso il valore del limite cambia in funzione del grado del numeratore e del grado del denominatore,per m=n il limite tende a KA*Π(ai)/Π(bi) e dunque per m=#dispari presenta segno discorde rispetto allo stazionario confermando la tesi(bi sono tutti positivi per garantire la stabilità del sistema poiche pi=[-1/(bi>0)],mentre zi=[-1/(ai<0)] devon essere positivi);tuttavia per m<n(per rispetto della fisica realizzabilità) il limite tende a 0.A questo punto si passa all'applicazione del Teorema del Valore Iniziale alla derivata prima :

Limt->0 y'(t)=Lims->inf s^2Y(s)

_si ripropone la stessa dualità,soltanto che per avere limite diverso da zero bisogna ora rispettare la condizione m=n-1;possiamo continuare a sfruttare il Teorema per le derivate successive dato che è garantita la continuità nell'intorno destro di 0,facendo ciò si ottiene la seguente formula ricorsiva m=n-d,con d=ordine derivata.Rispettando quest'ultima tutti i casi si riconducono al primo limite studiato,che conferma che solo la presenza di un #dispari di zeri rende discorde la risposta nel transitorio con conseguente risposta inversa.





prof.richard andrebbe bene cosi?

[Frenk90]

So che è una domanda un pò niubba però non riesco a venirne a capo...sto studiando per analisi 1 e geometria ed algebra ma non riesco proprio a trovare una buona definizione per il determinante di una matrice. Quella per assiomi la so però vorrei trovare un buon modo per spiegare quella costruttiva e non mi viene proprio Quello che ho tra gli appunti è "Esso è la sommatoria di tutte le possibili permutazioni degli elementi della matrice moltiplicate per il segno della permutazione stessa" anche se questa non mi convince per niente. Aiuti?

[richard]

_si ripropone la stessa dualità,soltanto che per avere limite diverso da zero bisogna ora rispettare la condizione m=n-1;possiamo continuare a sfruttare il Teorema per le derivate successive dato che è garantita la continuità nell'intorno destro di 0,facendo ciò si ottiene la seguente formula ricorsiva m=n-d,con d=ordine derivata.Rispettando quest'ultima tutti i casi si riconducono al primo limite studiato,che conferma che solo la presenza di un #dispari di zeri rende discorde la risposta nel transitorio con conseguente risposta inversa.

Trattandosi di provare una condizione necessaria e sufficiente io, da pignolo , avrei messo ben in evidenza le dimostrazioni relative alle due implicazioni. Comunque il senso è chiaro.

Piuttosto, nella parte in quote, non è invece ben chiaro in che termini tutto si riconduca al primo caso.
Si tratta fondamentalmente di capire/spiegare perché alla prima derivata non nulla in 0 della risposta possiamo applicare le considerazioni del primo caso. Su questo punto dovresti essere, a mio avviso, un po' più convincente.